O Potencial Vetor

INTRODUÇÃO

Alem dos campos elétricos e magnéticos, fazemos uso no eletromagnetismo de dois outros campos: o potencial eletrostático (que de agora em diante nos referimos a ele como o potencial eletromagnético) e o potencial vetor.

A existência do potencial vetor é uma consequência do fato de que monopolos magnéticos não existem.

Como já discutido anteriormente, o potencial eletromagnético é um campo escalar. E ele está intimamente ligado ao conceito de energia eletrostática.

O potencial vetor, como o nome bem indica, é um campo vetorial. Esse campo está relacionado ao campo magnético.

O uso do potencial vetor introduz uma nova metodologia para a solução de problemas no eletromagnetismo. Alem disso, ele faz com a solução desses problemas tenha certa semelhança com a solução de problemas na eletrostática.

O POTENCIAL VETOR

Tendo em vista o fato de que monopolos magnéticos não existem, e que esse fato pode ser traduzido, em termos de propriedades do campo, como a propriedade do campo magnético de ter um divergente nulo:

(1)

Então, segue dessa propriedade que o campo magnético pode ser expresso como o rotacional de um campo vetorial. Esse campo vetorial é conhecido como o potencial vetor (e representado por ). Escrevemos:

(2)

É importante frisar que o potencial vetor não é univocamente determinado. Ou seja, dados dois potenciais vetores e que difiram pelo gradiente de um campo escalar, isto é:

(3)

Onde $LaTeX: \lambda$ $λ$ é uma função escalar qualquer, e lembrando que:

(4)

Propriedade essa válida para qualquer função escalar, então se conclui que os dois potenciais vetores levam á mesma expressão para o campo magnético:

(5)

Assim, dois potenciais distintos (diferindo pelo gradiente de uma função escalar) são equivalentes e, portanto, o campo vetorial não é univocamente determinado. Como se requer que grandezas físicas sejam univocamente determinadas, a conclusão é que o potencial vetor é uma grandeza física não observável.

A transformação da forma:

(6)

Com dado pela expressão (3), damos o nome de Transformação de Gauge.

A invariância do campo magnético, por uma transformação de Gauge, damos o nome de invariância de Gauge.

EQUAÇÕES PARA O POTENCIAL VETOR

O uso do potencial vetor faz com que as equações fundamentais da magnetostática fiquem muito semelhantes às equações da eletrostática. Para entendermos isso, vamos escrever as equações da magnetostática para o vácuo. Essas equações são as duas equações de Maxwell:

(7)

A substituição de (2) em (7), nos leva á equação:

(8)

Lembrando a identidade entre operadores de campo:

(9)

Chegamos á seguinte equação para o potencial vetor:

(10)

Lembrando, no entanto a enorme liberdade que temos para escolher os campos vetoriais fazemos uso dessa liberdade para escolher o potencial vetor de tal maneira a satisfazer a condição:

(11)

A condição acima tem o nome de condição da transversalidade. O porquê do nome só ficará mais claro depois quando estudarmos as ondas eletromagnéticas.

Dentre todas as infinitas possibilidades de escolha do potencial, agora ficamos com apenas um. Ou seja, um potencial vetor que leve á mesma expressão para o campo magnético e que ao mesmo tempo satisfaça á condição da transversalidade é único.

De fato, dois potenciais vetores que satisfaçam á condição da transversalidade:

(12)

Podem agora diferir entre si apenas por uma função escalar tal que:

(13)

Tal função escalar, que satisfaça a equação acima e a condição de ser nula no infinito, tem que ser necessariamente nula, isto é:

(14)

E, portanto, com a condição da transversalidade, o potencial fica inteiramente determinado. Adotando-se a condição da transversalidade as equações básicas da magnetostática se reduzem á equação:

(15)

Assim, do ponto de vista puramente matemático o que conseguimos foi transformar um conjunto de duas equações de primeira ordem em uma equação de segunda ordem nas derivadas com respeito ás coordenadas do espaço.

SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DA MAGNETOSTÁTICA

A equação acima é, na realidade, um conjunto de três equações já que o campo é um campo vetorial e, portanto, temos uma equação para cada uma das componentes:

(16)

Cada uma dessa equações é uma equação de Poissom, cuja solução, que se aplica para qualquer uma das componentes tem a mesma forma. Para a coordenada x, por exemplo, a solução é:

(17)

A solução para o potencial vetor pode então ser escrita, sob a forma:

(18)

Lembrando que na eletrostática a solução para o potencial eletrostático, dada a densidade de carga $LaTeX: \rho$ $ρ$ , é da forma:

(19)

Pode-se agora notar um paralelismo entre os problemas da eletrostática e aqueles da magnetostática. Em alguns casos, basta a simples substituição da solução de um problema da eletrostática fazendo agora a substituição:

(20)

Isto será exemplificado através da solução de problemas concretos, posteriormente.

A LEI DE BIOT-SAVART

A partir da expressão para o potencial vetor podemos determinar o campo magnético uma vez dada a densidade de corrente. A partir da expressão (18), podemos ver que isso é possível. A expressão á qual chegaremos se constitui na lei de Biot-Savart.

Tomando o rotacional de ambos os membros da equação (18), teremos:

(21)

Considerando-se apenas a componente x, teremos, explicitamente,

(22)

Onde na expressão acima utilizamos a definição:

(23)

Concluímos, depois de escrevermos expressões análogas para as componentes y e z que o campo magnético pode ser expresso como a integral:

(24)

A equação acima é a lei de Biot-Savart. Ela representa uma expressão para o campo magnético uma vez conhecida a densidade de corrente em cada ponto do espaço.

Figura 1. O campo magnético $LaTeX: d\vec{B}\left(\vec{r}\right)$ $d \overset{⇀}{B} (\overset{⇀}{r})$ gerado no ponto $LaTeX: P\left(\vec{r}\right)$ $P (\overset{⇀}{r})$ por uma carga dg que se move ao longo do eixo Ox. com velocidade $LaTeX: \vec{v}$ $\overset{⇀}{v}$ . O vetor $LaTeX: d\vec{B}\left(\vec{r}\right)$ $d \overset{⇀}{B} (\overset{⇀}{r})$ é ortogonal ao plano formado pelos vetores $LaTeX: \vec{v}$ $\overset{⇀}{v}$ e $LaTeX: (\vec{r} - \vec{r}\:')$ .

CAMPO E POTENCIAL PARA UM CIRCUITO

No caso de um circuito, no qual a corrente flui ao longo de um fio muito fino, as expressões para o potencial vetor, assim como para o campo magnético podem ser simplificadas. Isso porque se o fio tem uma secção transversal de área S, então o elemento de volume para um comprimento dl do fio é dado por: